周波数応答１
ここでは、伝達関数を作成しサーボ系の応答周波数を求めます。順序としては、１）運動方程式の作成 ２）ラプラス変換 ３）伝達関数作成 ４）周波数応答の計算 という流れでダイナミックな応答のシミュレーションを実施できます。
まず、例題として下の図のような「運動方程式」の章で説明した単純な一軸リニアモータの例をとって解説します。
|
| 式Ａ−７−１ 式Ａ−７−２ 式Ａ−７−３ |
ラプラス変換
式Ａ−７に対し、ラプラス変換を行います。ラプラス変換の方法は簡単でd/dtの含まれるパラメータを変換します。ここでは、x → X, dx/dt → sX 、d2x/dt2 → s2X と変換してもらえれば良いです。また電流も di/dt → sI、i → I と変換します。これを行うと、式Ｃ−１の３つの式のようになります。
| 式Ｃ−１−１ 式Ｃ−１−２ 式Ｃ−１−３ |
伝達関数と周波数特性
伝達関数は、ラプラス変換された式に対して、出力／入力＝ゲイン という関係で示されます。通常ゲインが定数の場合は三角で表示し、ゲインに ｓが含まれる時は四角で表わします。つまり、sは微分、1/sは積分という考え方で結構です。
まず、式Ｃ−１−１について、式を整理して出力＝I、入力＝V-sKeX1、ゲイン＝1/(sL+R) とします。また、入力＝V-sKeX1を +V と、-Ke * sX1 の和と考えると、図Ｃ−ａのような伝達関数として表現されます。
| 図Ｃ−ａ |
また、式Ｃ−１−２、式Ｃ−１−３についても、出力／入力＝ゲインとして、図Ｃ−ｂのような伝達関数として表現されます。ただし、図Ｃ−ａにおいて、Ke への入力が sX1 となっていることを考慮して、式Ｃ−１−３の場合は、出力を sX1 としています。
| 図Ｃ−b |
| 図Ｃ−c |
これらの伝達関数 Ｃ−ａ、Ｃ−ｂ、Ｃ−ｃをつなげてしまえば、このモデルの総合的な伝達関数が完成します。これを下の図Ｃ−ｄ−１に示します。Input が 1 で、入力のゲインも 1 としてあります。
この伝達関数の各定数に値を入力し、周波数特性をグラフにしたもの（ボード線図）が、図Ｃ−ｄ−２です。ボード線図の上図が ゲイン−周波数 の関係を、下図が 位相−周波数 の関係を表わします。ボード線図を作成する際、伝達関数の入力値（図Ｃ−ｄ−１における In1 )はここでは電圧 V となっておりますので、出力値（図Ｃ−ｄ−１における Out1 )はディメンジョンを合わせて sX とする必要があります。各値は、Kf=31.2 [N/A], Ke=35.5 [V/m/s], L=0.0023 [H], R=3.8 [Ω], M1=100 [Kg] を入力しました。（リニアモータはあるメーカーのコマーシャルモデルの値を代入しました。） また、周波数応答のグラフは、市販のＰＣ上ソフトウェアで簡単に作成できますので利用すると便利です。
| 図Ｃ−d−１ |
| 図Ｃ−d−２ |
上の周波数応答のグラフは、まだゲインも決定されていないものです。つぎは、このゲインを決定します。
入力直後のゲインをいろいろ変化させて周波数応答のボード線図を何回か描いて下さい。その中で、位相余有（ゲイン−周波数のゼロクロス点で位相が９０度ずれるまで、あと何度くらいのこされているか）が４５度程度あるようにゲインを決定します。また、ゲイン余有（位相が９０度回転したときのゲイン）が十分ある（グラフ上では十分マイナス側に下がっている）ことが必要です。
これらのことに注意して、ここではゲインを２００００と決めました。この時の伝達関数とボード線図を下図Ｃ−ｅに表わしました。
| 図Ｃ−e−１ |
| 図Ｃ−e−２ |
最後にこのモデルをクローズドループにしてサーボをかけたようにしてボード線図を描いてみます。ここでは、速度に相当する sX1 を入力 V に返して、速度ループによるサーボで制御した場合をシミュレーションしてみました。
ボード線図の ゲイン−周波数 特性を調べると、約１２００ [rad/sec] （＝１２７[Hz]) あたりで、約３ｄＢ程度のピークを持ちます。これは、１２０Ｈｚ程度では、十分サーボの制御が可能であることを示しています。
| 図Ｃ−f−１ |
| 図Ｃ−f−２ |
この章では、基本的なモデルについて解析を行いましたが、現実のモデルはかなり複雑になります。別の章「周波数応答２」において、現実的な例を紹介しますので参考にしてください。
Copyright 2000 Shinobu Tokushima. All Rights Researved
