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［質問１］ 二項分布の信頼限界の計算法に関して （ポアソン分布の信頼限界の計算法にも言及）
私は助産学の研究者です。臨床検査に関するある論文を読んでいて、掲載されている信頼区間と私の計算した信頼区間が一致せず、悩んでいます。御忙しいところ恐縮ですが、教えてくださいませんか。
その論文は妊婦のＧＢＳと言う細菌を検出する方法として、培養、従来のＰＣＲ、新ＰＣＲの３つの方法について評価し新ＰＣＲの評価をしています。
培養と比べて従来のＰＣＲのｓｅｎｓｉｔｉｖｉｔｙは９７％（３２／３３）９５％信頼区間８２．５−９９．８、ｓｐｅｃｉｆｉｃｉｔｙは１００％（７９／７９）同９４．２−１００、ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｐｒｅｄｉｃｔｉｖｅ ｖａｌｕｅ は３２／３２同８６．９−１００、ｎｅｇａｔｉｖｅ ｐｒｅｄｉｃｔｉｖｅ ｖａｌｕｅは９８．８（７９／８０）同９２．３−９９．９、となっています。
検体数は１１２検体、対象人数は５７人です。
事前確率は２９．５％です。
私は、統計学の公式を利用して、ｐ＝０．９７、ｎ＝３３、α＝０．０５、Ｚ（α）＝１．９６を代入し計算すると、０．９１２＜ｐ＜１．０２８となりました。つまり、信頼区間は９１．２〜１０２．８となりました。
ここで、計算で出てきた信頼区間は100％を超えています。また、分布は正規分布にはなっていません。このようなときにはどうしたら良いのでしょうか。
［お答え］
ご質問者も可笑しいと御考えのように、確かに、この問題での比率ｐは正規分布をしません。正確には二項分布です。二項分布での正確な計算は出来ますが、面倒なので、普通は正規分布で近似して計算しますので、答えには誤差があります。そして、この例のように信頼区間の限界の推定が１００％を超えてしまうとか、または、場合によるとマイナスになつてゼロより小さくなります。そのときには比率はゼロより大きく１００％より小さいという理屈で、この場合には上限は１００％とします。しかし、これは近似的方法なので、正確に求めたい方のためにはＦ−分布を使って正確な信頼区間を求める方法があります。
拙著：応用統計学（共立出版刊、絶版、現在は著者自身により刊行、当ホームページに説明あり）の２１頁から２５頁までに厳密法の解説があります。また、パソコンによって数値的に解く方法がプログラムとして記載してあります。また、この問題の解説は有名な統計学書の Ａｄｖａｃｅｄ Ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ Ｉ，ＩＩ，ＩＩＩ にあります。余談ですが、この本は統計学の主要な公式が証明とともに載っています。統計学を良く使う学部の図書室では必要な本です。パソコンで解くためのプログラムは拙著に記載されていますが、これは、当時市販されていたシャープの携帯電卓用のプログラムなので、普通のパソコンの言語とは少し仕様が違いますが、行番号とプログラム本体の間にコロン ： が入っているのを取り去れば、普通のパソコンのＢＡＳＩＣという言語と同じですので、ＢＡＳＩＣをご存知の方はご理解がいただけるでしょう。
［参考］上述の例では二項分布の信頼区間を正確にもとめるにはＦ−分布を使うことが分かったのですが、ポアソン分布の区間推定などを厳密に行うにはχ二乗分布を使います。これも応用統計学（上記）にありますし、 Ａｄｖａｎｃｅｄ Ｔhｅｏｒｙ of Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ にも解説があります。
［備考］ご質問に上記のように御答えしたところ、質問された方から、ご自分で精密計算をされて、納得されたとのご返事を頂きました。
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