力の作用しない物質粒子は、慣性の原理に従って直線上を均一に運動する。特殊相対論(実数時間座標をもつ)の 4 次元連続体のなかでは、 これは、現実の直線である。一般(リーマン的)不変量の理論の概念系のなかで意味のある自然で、すなわち、最も単純な、直線の一般化は、 最も真直な線、または測地線である。従って我々は、慣性と重力だけが作用する物質粒子の運動が次の方程式で記述できると、等価性の 原理の意味で、仮定しなければならない。 \[ {d^2x_μ \over ds^2} + Γ^μ_{αβ} {dx_α \over ds}{dx_β \over ds} = 0 \tag{90} \] 事実、この方程式は、もし、重力場の $Γ^μ_{αβ}$ の全成分が消滅するならば、直線の式に還元する。

どのように、この方程式がニュートンの運動方程式に繋がっているか？ 特殊相対論に従って、$g^{μν}$ と同様に $g_{μν}$ も慣性系に関して 次の値をもつ (実数の時間座標と $ds^2$ の適切な符号の選択によって)。 \[ \begin{matrix} -1& 0& 0& 0 \\ 0&-1& 0& 0 \\ 0& 0&-1& 0 \\ 0& 0& 0& 1 \end{matrix} \tag{91} \] 運動の方程式は、そのとき、次になる。 \[ {d^2x_μ \over ds^2} = 0 \]

そのとき、我々の運動方程式のふたつの項は、1次のオーダーの小ささである。これら 1 次のオーダーより相対的に小さい項を我々が無視する なら、次を置かなければならない。 \[ ds^2 = - dx_ν^2 = dl^2 (1 - q^2) \tag{93} \] \[ Γ^μ_{αβ}= -δ_{μσ} [αβ, σ] = -[αβ, μ] = {1 \over 2} ({∂γ_{αβ} \over ∂x_μ} - {∂γ_{αμ} \over ∂x_β} -{ ∂γ_{βμ} \over ∂x_α}) \tag{94} \]

この方程式は、重力場のなかの物質粒子のニュートンの運動方程式に一致する、もし、我々が ($γ_{44} \over 2$) を重力場のポテンシャルであると 特定するならば； これが許されるかどうかは、当然、重力の場の方程式に依存し、すなわち、それは、この量がニュートンの理論の重力 ポテンシャルと同じ場の法則を、1 次近似とかまで満たすかどうかに依存している。(90) と (90a) を眺めると、$Γ^μ_{αβ}$ が、重力場 の強さの役割を実際に果たしていることが分かる。これらの量は、テンソル特性を持たない。

式 (90)は、物質粒子への慣性と重力の影響を表している。慣性と重力の結合は、(90)の左辺全体が (座標系のどのような変換に関しても) テンソルの特性をもつが、分離して採られたふたつの項は、テンソルの性格をもたないという事実によって形式的に表れている。 ニュートンの方程式との類似性によって、最初の項が慣性を、第 2 の項が重力を表しているとみなすことができる。

我々の以前の結果に従えば、運動量とエネルギーの原理が、このテンソルの発散の消滅 (47c) の言明によって表現された。一般相対論において、 我々は、それに対応する一般共変方程式が有効であると仮定しなければならない。もし、($T_{μν}$) が物質の共変エネルギーテンソルを示し、 $Ｔ^ν_σ$ がそれらに対応する混合テンソル密度なら、そのとき、(83) に従って、我々は次が満たされることを要求しなければならない。 \[ 0= {∂Ｔ^α_σ \over ∂x_α} - Γ^α_{σβ} Ｔ^β_α \tag{95} \] 物質のエネルギー密度だけでなく、重力場のエネルギー密度もまた、与えなければならないことを想い出されなければならない。そうして、 物質だけの運動量エネルギー保存原理をいうことがあり得ないようにする。数学的にはこれは、(95) の第 2 項の存在によって表される。 それは (49) の形式の積分方程式の存在を結論することを不可能にする。重力場は、エネルギーと運動量を "物質" に伝達する。そのなかで それは、それに力を働かせ、エネルギーを与える； これが (95) の第 2 項によって表現されている。

これらの条件の最初のふたつは、ポアソン方程式から自然に取って来る。一方、全てのそのような微分テンソルは、リーマンテンソルから代数的に (すなわち、微分なしに) 形成できるということが数学的に証明できるため、我々のテンソルは、次の形でなければならない。 \[ R_{μν} + α g_{μν} R \] ここで、$R_{μν} $と、$R$ は、(88) と (89) によってそれぞれ定義される。さらに、3番目の条件は、$α$が $-1/2$ の値をもつことを要求することが 証明できる。重力場の法則として、我々は、それゆえ、次の方程式をもつ。 \[ R_{μν} - {1 \over 2} g_{μν} R = - κ T_{μν} \tag{96} \] 式 (95) は、この式の帰結のひとつである。κは、定数を表し、ニュートンの重力定数に結合している。

以下では私は、むしろ含まれる数学的方法ができるだけ少ないものを使って、物理的視点から興味のある、理論の特徴を示す。 最初に、左辺の発散が実際に消滅することを示さなければならない。物質のエネルギー原理は、(83) によって、次式に表現される。 \[ 0= {∂Ｔ^α_σ \over ∂x_α} - Γ^α_{σβ} Ｔ^β_α \tag{97} \] ここで、$Ｔ^α_σ = T_{στ} g^{τα} \sqrt{-g}$

類似の操作を (96) の左辺に適用すれば、恒等式を導くだろう。

方程式 (96) が経験と整合するかどうかを学ぶために、我々は、何よりも先に、それらが1次近似としてニュートン理論を導くかどうかを 見出さねばならない。この目的のために、我々は、これらの方程式に、様々な近似を導入しなければならない。我々はすでに、 ユークリッド幾何学と光速の一定性の法則が、ある程度の近似で、惑星系のような非常に広い領域で、有効であることを知っている。 もし、特殊相対論のなかのように、我々が4番目の座標を虚数にとれば、これは、我々が次を置かねばならないことを意味している。 \[ g_{μν}= - δ_{μν} + γ_{μν} \tag{98} \] ここで、$γ_{μν}$ は、1 と比べて非常に小さい値であって、それゆえ、我々は、$γ_{μν}$ の高次の累乗とその微分を無視できる。もし、 我々がこれを行えば、我々は、重力場の構造、又は宇宙的大きさの計量空間について、何も知り得ず、代わりに我々は、近傍質量の 物理的現象への影響を知ることになるだろう。

この近似を行う前に、我々は、(96)を変換する。我々は、(96) に $g^{μν}$ を掛け、$μ$と$ν$とで総和して、$g^{μν}$の定義からくる関係を 観察することによって、 \[ g_{μν} g^{μν} = 4 \] 我々は、次の式を得る。 \[ R= κ g^{μν} T_{μν} = κT \] もし我々が、この $R$ の値を (96) にいれると、我々は、次を得る。 \[ R_{μν}= -κ(T_{μν} -{1 \over 2} g_{μν} T) = - κT^*_{μν} \tag{96a} \]

我々は、さらに、我々の選択した座標のなかで、もし我々が $g_{μν}$ を $-δ_{μν}$に置き換え、次式のようにしても、相対的に小さな誤差しか 生まないことを見る。 \[ ds^2= - Σ dx_μ^2 \tag{102a} \] 場を生成する質量が、我々が選択した疑似ガリレイ座標系に相対的にどれほど急速に運動しても、以前の開発は有効である。 しかし、天文学では、我々は採用した座標系に相対した質量の速度が、光速に比してつねに小さい、すなわち、我々の時間の単位の選択では 1 に比べて小さいものを扱わなくてはならない。我々は、それゆえ、もし、(101) のなかの遅延ポテンシャルを通常の(非遅延)ポテンシャルに 置き換え、そして、場を発生する質量に対して、次式を置けば、ほとんど全ての実際的な目的に十分な近似を得る。 \[ {dx_1 \over ds} = {dx_2 \over ds} = {dx_3 \over ds} = 0, {dx_4 \over ds}= {\sqrt{-1 dl} \over dl} = \sqrt{-1} \tag{103a} \]

我々は、ニュートン重力定数Κが、我々の場の方程式に入っている定数κと次の関係をもつことをみる。 \[ Κ= {κc^2 \over 8π} \tag{105} \] それゆえ、$Κ$の知られる数値から、次が出る。 \[ κ= {8πΚ \over c^2} = {8π.6・67.10^{-8} \over (9.10^{20}) }= 1・86.10^{-27} \tag{105a} \]

いま、我々の結果から、測定棒と時計の行動を判断できるために、我々は、次のことを見なければならない。等価性の原理に従って、 ユークリッド幾何学の計量関係は、適切な運動状態 (自由落下、そして、回転なし)にある、無限小の大きさのデカルト座標系に関して 有効である。我々は同じ言明を、これらに相対的に小さな加速をもつ局所座標系に対して、そしてそれゆえ我々が選択したひとつ に関して静止であるような座標系に対してすることができる。そのような局所系に対して、我々は隣接2点の事象に次をもつ。 \[ ds^2= - dX_1^2 - dX_2^2 - dX_3^2 + dT^2 = -dS^2 + dT^2 \] ここで、$dS$ は、測定棒によって直接に測られ、$dT$ はその系に静止した時計によるものである； これらは、自然に測定された長さと時間である。 他方、$ds^2$ は、次式によって有限領域に採用される座標値 $x_ν$ によって知られる。 \[ ds^2 = g_{μν} dx_μ dx_ν \] 我々は、自然に測定された長さと時間を一方にして、対応する座標値の差を他方とし、それらの間の関係を得る可能性をもつ。 空間と時間への分割は、ふたつの座標系に関して一致するから、我々が ds^2 へのふたつの表現を等しいと置くとき、我々はふたつの関係を得る。 もし、(101a) によって我々が次を置けば、 \[ ds^2= -(1 + {κ \over 4π} ∫{σdV_0 \over r}) (dx_1^2 + dx_2^2 + dx_3^2) + (1 - {κ \over 4π} ∫{σdV_0 \over r}) dl^2 \] 我々は、十分に近い近似で、 \[ \sqrt{dX_1^2+ dX_2^2+ dX_3^2} = (1 + {κ \over 8π} ∫{σ dV_0 \over r})\sqrt{dx_1^2+ dx_2^2+ dx_3^2}\\ dT= (1 - {κ \over 8π} ∫{σ dV_0 \over r} ) dl \tag{106} \]

実験的にテストできる、もうひとつの重要な理論の帰結として、光線の経路を扱わなければならない。一般相対論においても、光速がどこでも 等しいのは、局所慣性系に相対してである。この速度は、我々の時間の自然計測において 1 である。一般座標における光の伝播の法則は、 それゆえ、一般相対論に従って次の式で特徴付けられる。 \[ ds^2 = 0 \] 我々の使う近似まででは、そして、我々が選択した座標系では、光速は (106) に従って、次の式によって特徴付けられる。 \[ (1 + {κ \over 4π}∫{σdV_0 \over r}) (dx_1^2 + dx_2^2 + dx_3^2) = (1 - {κ \over 4π}∫{σdV_0 \over r}) dl^2 \] 光の速度 $L$ は、それゆえ、我々の座標値では、次によって表現できる。 \[ {\sqrt{dx_1^2+ dx_2^2+ dx_3^2} \over dl} = 1 - {κ \over 4π} ∫{σ dV_0 \over r} \tag{107} \]

静的な場の場合、$ds^2$ は、次の形式を持たねばならない。 \[ ds^2= -dσ^2 + f^2 dx_4^2 \\ dσ^2= Σ_{1-3} γ_{αβ} dx_α dx_β \tag{109} \] ここで、最後の式の右辺の総和は、空間変数だけに渡る。場の中心対称性は、γ_μνに次の形式を要求する。 \[ γ_{αβ}= μ δ_{αβ} + λ x_α x_β \tag{110} \] $f^2, μ $そして $λ$ は、$r= \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2}$ だけの関数である。これら 3 つの関数のひとつは、任意に選ぶことができる、 なぜなら、我々の座標系は、先験的に、 完全に任意であるから； なぜなら、次の置き換えによって、 \[ x'_4= x_4 \\ x'_α= F(r) x_α \]

これから、$f^2$ を掛けて、積分して、我々は次を得る。 \[ f^2 {dl \over ds} = constant \tag{112} \] (109c), (111) そして (112) のなかに、我々は、3つの方程式を 4つの変数、$s, r, l, Φ$ の間にもち、4変数から惑星運動が古典力学と 同様に計算できる。これからの最も重要な結果は、惑星回転と同じ意味の楕円惑星軌道の永年回転であり、1 回転あたりのラジアンの累積は、 \[ 24π^3{a^2 \over (1-e^2)c^2T^2} \tag{113} \] ここで、$a$= 惑星軌道の長軸[cm]、$e$= 離心率、 $c= 3.10^{10}$ 真空中の光速、 $T$= 回転周期 [秒]である。

この式は、100年間 (ルベリエ(Leverrier)以来)知られ、理論的天文学がこれまで満足に説明できなかった、惑星水星の近日点の運動の説明を与える。

もし、宇宙が疑似ユークリッド的であるなら、そのとき、マッハ(Mach)は、彼の思想、慣性が重力と同様に物体間のある種の相互作用による という考えにおいて、全体として間違っていたことになる。なぜなら、この場合、適切な選択の座標系において、$g_{μν}$は無限遠で特殊相対論 におけると同様に定数になるだろうし、一方、有限の領域のなかで $g_{μν}$ は、座標の適切な選択において、有限領域の質量の影響の結果 として、これらの定数値から少量だけ異なるであろうからである。そのとき、空間の物理的特性は、全体として独立ではなく、すなわち、 物質から影響を受けないわけではなく、それらは全体として、すこしの程度であるが、物質から条件付けられるからである。そのような、 双対性の概念は、それ自身としてさえ、満足できるものではない；しかしながら、それに反対するいくらかの物理的な議論が存在し、我々はそれを考察する。

宇宙が無限で、無限遠ではユークリッド的であるという仮定は、相対論的視点からは、複雑な仮定である。それは、一般相対論の言語のなかで、 4階のリーマンテンソル $R_{iklm}$ が無限遠で消滅しなければならない。それらは、20 の独立な条件を与える一方、ただ 10 個の曲率成分 $R_{μν}$ だけが重力場の法則に入っている。それは確かに、そのような遠隔の制限を、何らの物理的基礎なしに仮定することは満足できないことである。

1. 物体の慣性は、重さのある質量が近傍に積み上げられるとき、増加しなければならない。
2. 物体は、近傍の質量が加速されるとき、加速力を経験しなければならない。そして事実その力は、その加速と同方向でなければならない。
3. 回転する空の物体は、その内部に、回転と同じく運動物体を屈折させる "コリオリの場" を発生しなければならない。半径方向の遠心場も同様である。

我々は、マッハの着想に一致して期待されるこれら 3 つの効果が、それらの大きさは非常に小さいため、それらの実験室内での確認が考えられない にも関わらず、我々の理論に従えば実際に存在することを示す。この目的のために、我々は、物質粒子の運動方程式 (90)に戻って、式 (90a) でなされた近似よりも、いくらか先に進んだ近似を実行する。

最初に我々は、$γ_{44}$ を1次のオーダーの小ささと考える。重力の影響のもとに運動する質量の速度の 2 乗は、エネルギーの式に従って、 同じオーダーである。それゆえ、我々の考慮する物質粒子の速度だけでなく、場を発生する質量の速度も同様に、オーダー ${1 \over 2}$ の小ささと みなすのは論理的である。我々はいま、場の方程式 (101) と運動方程式 (90)、その考慮する項については、(90) の第2項のなかの速度に 線形なものに限り、起きる式のなかの近似を実行する。 さらに我々は、$ds$ を $dl$ に互いに等しいとは置かず、より高次の近似に対応して、次のように置く。 \[ ds= \sqrt{g_{44}} dl = (1 - {γ_{44} \over 2}) dl \]

(116)の右辺で我々は、$1+{γ_{44} \over 2}$ を 1 に、$-Γ^μ_{αβ}$ を[αβ, μ] に、置き換えることができ、それに加え、この近似の程度には、 我々が次を置かなければならないことを容易にみる。 \[ [44,μ]= -{1 \over 2} {∂γ_{44} \over ∂x_μ} + {∂γ_4μ \over ∂x_4} \\ [α4,μ]= {1 \over 2}({∂γ_{4μ} \over ∂x_α} - {∂γ_4α \over ∂x_μ})\\ [αβ,μ]= 0 \]

ここで、$α, β, μ$は、空間添字を示す。我々は、それゆえ、(116)から、通常のベクトル記述で、次を得る。 \[ {d \over dl} [(1+~σ) {\bf v}] = grad ~σ + {∂Ａ \over ∂l} +[curl Ａ,{\bf v}]\\ ~σ= {κ \over 8π}∫{σ dV_0 \over r}\\ Ａ= {κ \over 2π}∫{σ {dx_α \over dl} dV_0 \over r} \tag{118} \] 運動方程式 (118) は、いま、実際、次を示す。

1. 慣性質量は、 $1 + ~σ$ に比例し、そして、それゆえ、重さのある質量が試験物体に近付くとき、増加する。
2. 加速された質量の同符号で試験物体に作用する誘導作用が存在する。これは、項 ${∂Ａ \over ∂l}$ である。
3. 物質粒子で、回転する空洞物体のなかの回転軸に垂直に運動するものは、回転を意味する(コリオリ場)屈曲を受ける。 上述の回転する空洞物体のなかの遠心作用も、サーリング(Thirring)(*) によって示されたように、理論から出てくる。

(*) 遠心作用は、コリオリの場の存在と不可分に結合していなければならないことは、計算なしにさえ、認識することができる。 慣性系に相対的に均一に回転する座標系の特別な場合； 我々の一般共変方程式は、当然、そのような場合に適用されなければならない。

宇宙的大きさの g_μν 場の満足な概念のためには、星ぼしの相対速度が光速に比べて小さい事実は、重要に思える。これから、座標を適切に選べば、 $g_{44}$ が宇宙で、少なくとも物質のある宇宙の一部でほとんど定数である、ということが出る。さらに、宇宙の全ての部分に星ぼしが存在するという仮定 は、自然に思えて、$g_{44}$ の非一定性は、物質が連続的に分布せず、単独の天体や天体系に集中している状況だけによると我々が思ってよいようにみえる。 もし、我々が、宇宙の全体としての幾何学的特性の何かを学ぶために、物質密度のそして $g_{μν}$ の、これら、より局所的な非均一性を無視したいなら、 実際の物質分布を連続的な分布に置き換えることも、さらに、この分布に均一密度σを割り当てることも、自然であると見える。この想像する宇宙のなか で、全ての点と全ての空間方向は、幾何学的に等価である； それの空間に関してのその拡張は、一定の曲率をもつだろう、そしてその $x_4$ 座標に関して 円筒的であろう。宇宙が空間的に有限であり、そしてこのように、我々のσの一定性の仮定に従って、一定の曲率をもち、球状または楕円的である可能性 は、特に満足すべきに思える； なぜならそのとき、一般相対論の立場からは非常に不便である無限遠の境界条件は、閉じた空間へのはるかに自然な条件 に置き換えられるからである。

すでに述べたことに従って、我々は、次を置くべきであろう。 \[ ds^2= dx_4^2 - γ_{μν} dx_μ dx_ν \tag{119} \] ここで、添字$μ,ν$ は、1 から 3 までだけを走る。$γ_{μν}$ は、一定の正の曲率をもつ3次元連続体に対応するような、$x_1, x_2, x_3$ の関数であろう。 我々は、いま、そのような仮定が、重力の場の方程式を満たし得るかどうかを、調べなければならない。

(*) 4 番目の空間次元の助けは当然、数学的技巧以外の意味はない。
(**)訳注：球面上で $Σ x_i^2 = a^2$ を微分し、$Σ x_i dx_i = 0 (i= 1 to 4)、dx_4^2= (-x_4 dx_4)^2/x_4^2$ による。

もし、宇宙が疑似ユークリッド的であるなら、そしてその曲率半径がそれゆえ無限大なら、そのとき、σは、消滅するだろう。しかし、宇宙の物質の 平均密度が実際にゼロであることは不可能である； これが、宇宙が疑似ユークリッド的であるという仮定に反対する、我々の第3番目の議論である。 また、我々の仮説的な圧力が消滅できるということも可能に見えない； この圧力の物理的性質は、我々が電磁場のよりよい理論的知識をもった後に 正しく認識されるだろう。(123) の第 2 式に従えば、宇宙の半径 a は、物質の全体質量 M によって、次の式で表される。 \[ a= {Mκ \over 4π^2}. \tag{124} \] 幾何学の物理的特性への完全な依存は、この式によって、明白になる。

1. 相対論の立場からは、閉じた宇宙を仮説することは、宇宙の疑似ユークリッド構造の無限遠における対応する境界条件を仮説するよりも、 はるかに単純である。

2. マッハの表明した着想、慣性の物体相互作用への依存は、1次近似まで相対論の方程式に含まれている； これらの方程式から、慣性が 少なくとも部分的には質量間の相互作用に依ることが出る。それによって、マッハの着想は可能性を得る、慣性が部分的に相互作用に依存し 部分的には空間の独立特性であるということは、不満足な仮定であるが。しかし、マッハのこの発想は、空間的に制限された有限宇宙にだけ 調和し、疑似ユークリッド的な無限宇宙には対応しない。認識論的な立場からは、物質によって完全に決定される空間の力学的特性をもつ ことのほうが、より満足でき、そしてこれが閉じた宇宙の場合にだけある。

3. 無限の宇宙は、宇宙の物質の平均密度が消滅するときにだけ可能である。そのような仮定は論理的に可能とはいえ、 宇宙に物質の有限の平均密度があるという仮定と比べて、それはより少ない可能性でしかない。