1. 時間は絶対的である； 事象の $K'$ に相対する時間 $t'$ は $K$ に相対する時間と等しい。もし、即時的信号を遠方に送ることができるならば、 そして、もし、人が時計の運動状態がその速度に影響を受けないことを知るならば、そのとき、この仮定は、物理的に正当と認められるだろう。 なぜなら、そのとき、時計は、ひとつひとつが類似で、同じく規制され、$K$ と $K'$ 系に渡って分布でき、それらに静止して、それらの表示は、 系の運動状態から独立しているだろう； ひとつの事象の時間は、そのとき、その直ぐ近傍の時計によって与えられるだろう。

2. 長さは絶対的である； もし、間隔が $K$ に相対的に静止して、長さ $s$ をもつなら、そのとき、それは、 $K$ 系に相対的に運動する $K'$ 系に 相対しても同じ長さ $s$ をもつ。

もし、$K$ と $K'$ の軸が互いに平行であるなら、これらふたつの仮定に基づく単純な計算が、変換の方程式を与える。 \[ \begin{align} x'_ν&= x_ν - a_ν - b_ν t\\ t'&= t - b \end{align} \tag{21} \] この変換は、"ガリレオ変換(Galilean Transformmation)"として知られる。時間で 2 回微分して、我々は、次を得る。 \[ {d^2 x'_ν \over dt^2} = {d^2 x_ν \over dt^2} \]

しかし、このガリレオ変換への平行移動の相対性を建てようとする試みは、電磁現象に適用されるとき失敗する。マックスウェル・ローレンツ (Maxwell-Lorentz) の電磁方程式は、ガリレオ変換に関して共変でない。特に我々は、(21) によって、$K$ を参照する光線がもつ速度 $c$ をもつ ことは、参照する $K'$ の方向に依存して、異なる速度をもつことに注目する。$K$ の参照空間は、それゆえ、その物理的特性によって、それ (静止エーテル) に相対運動するその他の全ての参照空間と区別される。しかし、全ての実験は、参照物体とする地球に対して相対的な電磁現象 と光の現象が地球の移動速度による影響を受けないことを示した。これらの実験の最も重要なものは、マイケルソンとモーリー(Michelson and Morley) の実験であり、知られていることを想定する。特殊相対性の原理の有効性は、電磁現象に関しても、疑いをもつことは難しい。

他方、マックスウェル・ローレンツ方程式は、運動物体中の光学の問題の扱いにおいて、その有効性を証明した。他の理論は、光行差、運動物体 中の光伝播(フィゾー(Fizeau))、二重星の現象観測(ド・ジッター(De Sitter)) の事実を満足に説明しなかった。マックスウェル・ローレンツ 方程式の帰結、真空中に光は速度 $c$ で伝播すること、少なくとも確定したひとつの慣性系 $K$ に関しては、証明されたと見なされなければならない。 特殊相対性の原理に従って、我々は、この原理の真実性を、全ての他の慣性系についても、また仮定しなければならない。

(*) 厳しく言えば、最初に同時性を何か次のように定義することの方がより正確であろう： $K$ 系の点 A と 点 B にあるふたつの事象は、 間隔 AB の中点 M において観測されるとき、それらが同時に現れるならば、同時刻である。そのとき、時間は、$K$ に静止する類似の時計 の表示の組であり、それらは、同じ時刻を同時に記録する。

これらの考察の全てから、空間と時間のデータは、物理的現実であり、単なる架空でない重要性をもつ； 特にこれは、座標系と時間がはいる 全ての関係に成立する。例えば、(21)の関係である。それゆえ、ひとつの慣性系 $K$ からそれに対して動く別の $K'$ へ我々がそれによって移る 真の変換方程式は何かと問うという意味だけでなく、それらの方程式が真か偽かを問うという意味もある。これが光速一定の原理と特殊相対性 の原理によって、独特に設定されることを示されるだろう。

この目的に向かい我々は、空間と時間とは、すでに示された方法で、ふたつの慣性系 $K, K'$ に関して、物理的に定義されたと考える。さらに、 K のひとつの点 $P_1$ から別の点 $P_2$ へ真空を通して光線を渡す。もし、$r$ が 2 点間の測定された距離ならば、そのとき、光の伝播は、次式を 満たさねばならない。

この式は、$K$ に相対する光の速度の一定性の原理を定式化する。光線を発する源の運動が何であれ、成立しなければならない。

同じ光の伝播は、$K'$ に相対的に考察できる。その場合も、光速一定の原理が満たされねばならない。 それゆえ、$K'$ に相対的に我々は、次式をもつ。 \[ Σ(Δx'_ν)^2 - c^2 Δt'^2 = 0 \tag{22a} \] 式、(22a) と (22) とは互いに、$K$ から $K'$ への変換に関して相互に整合的でなければならない。これをもたらす変換を、ローレンツ変換 (Lorentz Transformation) と呼ぶ。

この条件は、つねに満足する(*)。もし、我々がより一般的な次の条件を満足していれば。 \[ s^2= Δx_1^2 + Δx_2^2 + Δx_3^2 + Δx_4^2 \tag{23} \]

(*) その場合、この特殊化が理に適うことは、後に明らかになる。

特別なローレンツ変換 もし、座標値のふたつだけが変換され、そして、もし、新しい原点を決めるだけの $a_μ$ が消滅するなら、我々は、 (24) と (25) の形の最も単純な変換を得る。そのとき、我々は、添字 1, 2 について、(25) の関係が与える 3 つの独立な条件のために、次式を得る。 \[ \begin{align} x'_1&= x_1 cos Φ - x_2 sin Φ\\ x'_2&= x_1 sin Φ + x_2 cos Φ\\ x'_3&= x_3\\ x'_4&= x_4 \end{align} \tag{26} \] これは、x_3 軸周りの(空間)座標系の空間のなかの単純な回転である。前に学んだ (時間の変換のない) 空間のなかの回転は、ひとつの特別な場合 として、ローレンツ変換に含まれる。添字 1, 4 については、我々は同様な仕方で、 \[ \begin{align} x'_1&= x_1 cos Ψ - x_4 sin Ψ\\ x'_4&= x_1 sin Ψ + x_4 cos Ψ\\ x'_2&= x_2 \\ x'_3&= x_3 \end{align} \tag{26a} \]

これらの式は、よく知られた特殊ローレンツ変換を形成する。それは、一般的な理論では 4 次元座標系の虚数角の回転と表現するものである。 もし、我々が通常の時間 $t$ を光時間 $l$ の代わりに導入するなら、そのとき、(29)のなかで、$l$ を $ct$ に、$v$ を ${v \over c}$ に置き換えなければならない。

運動する測定棒と時計 確定した $K$ の時間 $l= 0$ において、整数 $x'_1= n$ で与えられた点の位置は、$K$ に関して $x_1= n \sqrt{1 - v^2}$ で与えられる；これは、式 (29) の最初の式から出てきて、"ローレンツ短縮" を表わす。$K$ の原点 $x_1= 0$ に静止する時計、その鼓動が $l= n$ で特徴付けられるものは、$K'$ から観察されたとき、次の式によって特徴付けられる鼓動をもつだろう。 \[ l'= {n \over \sqrt{1 - v^2}}; \] これは、式 (29) の2番目から出てきて、その時計は、$K'$ に対して静止した場合よりも、ゆっくりと進むことを示す。これらふたつの帰結は、 必要な変更を加えれば(mutatis mutandis)、全ての参照系にとって成立し、独創的なローレンツ変換の物理的な内容を形成する。

速度の加算定理 もし、我々が相対速度 $v_1$ と $v_2$ をもつ、ふたつの特殊ローレンツ変換を結合するならば、そのとき、 ふたつの分離したローレンツ変換の代わりをする単独のローレンツ変換の速度は、(27) に従って、次で与えられる。 \[ v_{12}= i tan(ψ_1 + ψ_2)= i{tan ψ_1 + tan ψ_2 \over 1 - tan ψ_1 tan ψ_2} = {v_1 + v_2 \over 1 + v_1 v_2}. \tag{30} \]

不変量 $s^2$ は、次元の数を軽視しても、対応するユークリッド幾何学の不変量から、次の点で異なっている。ユークリッド幾何学のなかでは $s^2$ は、 必然的に正である； それは、関係する 2 点が一緒になるときだけ消滅する。一方、次の式の消滅から、 \[ s^2= ΣΔx_ν^2 = Δx_1^2 + Δx_2^2 + Δx_3^2 - Δt^2 \] そのふたつの時空点が一緒になると結論することはできない； 量 $s^2$ の消滅は、ふたつの時空点が真空中の(in vacuo)光信号によって 結合できるという、不変な条件である。もし、P が 4 次元空間のなかで $x_1, x_2, x_3, l$ によって表現される点(事象)なら、そのとき、 光信号の手段で $P$ と結合できる全ての "点" は、$s^2= 0$ の円錐上にある (図 1. と比較せよ、図は、次元 $x_3$ が抑圧されている)。 "上" 半分の円錐は、$P$ から光信号を送れる点ででき； "下" 半分の円錐は、そこから光信号を $P$ に送れる "点"を含むだろう。 円錐表面によって囲まれた内部の点 $P'$ は、$P$ とともに、負の $s^2$ を与える； $P'P$ と同様に $PP'$ もミンコフスキーに従って時間性である。 そのような間隔は、速度が光速よりも小さい運動の経路になり得る要素を表す(*)。この場合、慣性系の運動状態を適切に選ぶこと によって、$l$ 軸を $PP'$ の方向に引くことができる。もし、$P'$ が "光円錐" の外部にあれば、$PP'$ は、空間性である； この場合、慣性系の 適切な選択によって $Δl$ を消滅させることができる。

(*) 光の速度を超える物質の速度は、特殊ローレンツ変換 (29) の根号表式 $\sqrt{1 - v^2}$ から、可能でない。

任意の慣性系のなかにある $x_1, x_2, x_3, x_4$ の 4 つの量で指定される物理的実体、$A_ν$ は 4 元ベクトルといって、成分 $A_ν$ をもつ。 もし、$A_ν$ がそれらの実数性と変換特性との関係で、$Δx_ν$ に対応するならば；それは、空間性か時間性である。16 の量 $A_{μν}$ は、 そのとき、2 階のテンソルの成分を形成する。もし、それらが次の方法に従って変換するならば。 \[ A'_{μν}= b_{μα} b_{νβ} A_{αβ} \] このことから、$A_{μν}$ が変換特性と実数性特性に関して、ふたつの 4 元ベクトル $(U), (V)$ の成分 $U_μ, V_ν$ の積と同様に振舞うこと が出てくる。全成分は、添字 4 を一度だけ含むと純虚数であり、それ以外は実数である。3 階と高階のテンソルも同様な方法で定義される。 これらのテンソルの加算、減算、乗算、縮約、そして微分の演算は、全体として、3 次元空間のテンソルの対応する演算に類似している。

我々はいま、マックスウェル方程式 (19a), (19b), (20a), (20b)に戻って、次の記述法を導入する(*)： \[ Φ_{23}, Φ_{31}, Φ_{12}, Φ_{14}, Φ_{24}, Φ_{34}\\ h_{23}, h_{31}, h_{12}, -ie_x, -ie_y, -ie_z \tag{30a} \] \[ Ｊ_1, Ｊ_2, Ｊ_3, Ｊ_4 \\ {1 \over c} i_x, {1 \over c} i_y, {1 \over c} i_z, iρ \tag{31} \]

そして、$Φ_{μν}$は、$-Φ_{νμ}$ に等しくなければならないとする慣習に従うなら、そのとき、マックスウェル方程式は、次の式に繋げられる、 \[ {∂Φ_{μν} \over ∂x_ν} = Ｊ_μ \tag{32} \] \[ {∂Φ_{μν} \over ∂x_σ } + {∂Φ_{νσ} \over ∂x_μ } +{ ∂Φ_{σμ} \over ∂x_ν }= 0 \tag{33} \] (30a) と (31) から代入によって容易に検証できるように。

(*) 混乱を避けるためにこれ以降、3 次元の空間添字には $x, y, z$ を $1, 2, 3$ の代わりに使用し、数字の添字 $1, 2, 3, 4$ を 4 次元時空 連続体に予約する。

ここで、$i$ は光速を単位とする、電気性の速度ベクトルである。もし我々が、(30a), (31) に従って$Ｊ_μ, Φ_{μν}$ [訳注: $Φ_μ$を修正] を導入すると、我々は、その表式の第1成分として次を得る。 \[ Φ_{12} Ｊ_2 + Φ_{13} Ｊ_3 + Φ_{14} Ｊ_4 \] テンソル $(Φ)$ の反対称性のために、$Φ_{11}$ が消滅することをみれば、$k$ のその成分は、4次元ベクトルの最初の3つの成分は、次によって、 \[ K_μ= Φ_{μν} Ｊ_ν \tag{36} \] そして、第4番目の成分は、次で与えられる。 \[ K_4= Φ_{41} Ｊ_1 + Φ_{42} Ｊ_2 + Φ_{43} Ｊ_3= i(e_x i_x + e_y i_y + e_z i_z) = iλ \tag{37} \] それゆえ、単位体積あたりの力の4次元ベクトルが存在し、その最初の 3 成分 $k_1, k_2, k_3$ は、単位体積あたりの動質力(ponderomotive force) 成分であり、その4番目の成分は、単位体積あたりの場の仕事率に$\sqrt{-1}$ を掛けたものである。

(36) と (35) の比較は、相対性の理論が形式的に電気性場の動質力 $ρ{\bf e}$と、ビオ・サバール力又はローレンツ力${\bf i}\times {\bf h}$ とを統合することを示す。

質量とエネルギー 4元ベクトル、$K_ν$ の存在と意味から、重要な結論を描くことができる。電磁場がしばらくの間その上に作用する物体を想像しよう。 象徴的な図(図. 2)では、$Ox_1$ は、$x_1$ 軸を表すと同時に、3 つの空間軸 $Ox_1, Ox_2, Ox_3$ の代わりをする；$Ol$ は、実数の時間軸を表す。 この図のなかに有限の広がりの物体が確定した時間 $l$ に間隔 $AB$ によって表現されている； 物体の全体としての時空存在は、帯で表現されていて、 その境界がどこも$l$軸に45°未満傾いている。時間の断面$ l= l_1$ と $l= l_2$ との間にあって、それらまでは拡がらない帯の部分を影付けしている。 これは、時空多様体の部分を表していて、そのなかで電磁的な場が物体に作用する、又はそのなかに格納された電荷に作用しそれらへの作用が物体に 伝達される。我々はいま、この作用の結果として、物体の運動量とエネルギーにおいて実行される変化を考える。

我々は、その物体において運動量とエネルギーの原理が有効であることを仮定する。運動量変化、$ΔI_x, ΔI_y, ΔI_z$ エネルギー変化、$ΔE$ は、 次の式で与えられる。 \[ \begin{align*} ΔI_x&= ∫_{l0}^{l1} dl∫k_x dxdydz &= {1 \over i} ∫ K_1 dx_1 dx_2 dx_3 dx_4 \\ &...&... \\ &...&... \\ ΔE&= ∫_{l0}^{l1} dl∫λ dxdydz &= {1 \over i} ∫ {1 \over i} K_4 dx_1 dx_2 dx_3 dx_4 \end{align*} \] 4 次元体積要素が不変量であり、$(K_1, K_2, K_3, K_4)$ が 4 元ベクトルをなし、影付きでない部分の積分が何も貢献しないから、境 $l_0$ と $l_1$ の間 の積分がそうであると同じく、影付き部分以上に拡がった 4 次元積分は、4元ベクトルとして変換する。それゆえ、$ΔI_x, ΔI_y, ΔI_z, iΔE$ は、4元 ベクトルを形成することになる。それらの量自身はそれらの増分と同じ方法で変換されると予期できるから、我々は、4つの量の総計、 \[ 　　　　I_x, I_y, I_z, iE \] 自身が、4元ベクトルの性質をもつと推定する； これらの量は、物体の瞬間的な状態(例えば、$l= l_1$)に対するものである。

我々は、その通常の記述では次式であるこの4元ベクトルが、 \[ {q_x \over \sqrt{1-q^2}}, {q_y \over \sqrt{1-q^2}}, {q_z \over \sqrt{1-q^2}}, {i \over \sqrt{1-q^2}} \tag{41} \] 3次元では次式で定義される、物質粒子の速度成分から形成できる唯一の4元ベクトルであることを見る。 \[ q_x= {dx \over dl}, q_y= {dy \over dl}, q_z= {dz \over dl} \] 我々は、それゆえ、 \[ (m {dx_μ \over dτ}) \tag{42} \]

(43)の最後の式を静止した($q= 0$)物質粒子に適用すれば、静止した物体のエネルギー $E_0$ がその質量に等しいことを見る。 我々が秒を時間の単位にとるならば、次を得るだろう。 \[ E_0 = mc^2 \tag{44} \] 質量とエネルギーは、それゆえ、本質的に似たものである；それらは、単に同じことの違う表現である。物体の質量は定数ではない； そのエネルギー変化とともに変化する(*)。我々は、(43) の最後の式から $q$ が 1 の光速に接近するとき $E$ が無限に大きくなることを見る。 もし、我々が $E$ を $q^2$ の累乗に展開するなら、我々は次を得る。 \[ E= m + {m \over 2} q^2 + {3 \over 8} mq^4 + .... \tag{45} \] この展開式の第 2 項は、古典力学の物質粒子の運動エネルギーに対応する。

(*) 放射性過程のなかのエネルギー放出は、原子の重さが整数でないことと、明らかに繋がっている。式 (44) で表現される、 静止質量と静止のエネルギーの等価性は、近年に到るまで多くの場合で確認されてきた。放射性の分解では、結果質量の和が、つねに 分解前の原子の質量より小さい。その差は、解放された放射性のエネルギーだけでなく、発生した粒子の運動エネルギーの形で現れる。

電磁場のエネルギーテンソル 相対性の理論の開発の前、エネルギーと運動量の原理は、電磁場について微分形式で表現できることが 知られていた。これらの原理の4次元形式は、エネルギーテンソルの重要な概念を導き、それは、相対論のさらなる開発のために重要である。

もし、単位体積あたりの力の 4 元ベクトルの次の表式のなかで、 \[ K_μ= Φ_{μν}Ｊ_ν \] 場の方程式、(32) を使って、$Ｊ_ν$ を場の強さ $Φ_{μν}$ を使って表して、いくらかの変形の後、場の方程式 (32) と (33) を繰り返し適用して、 次式を得る。 \[ K_μ= -{∂Ｔ_{μν} \over ∂x_ν} \tag{47} \] ここで、我々は、次の書き方をした(*)。 \[ Ｔ_{μν}= - {1 \over 4} Φ_{αβ}^2 δ_{μν} + Φ_{μα} Φ_{νβ} \tag{48} \]

(*) 添字$α$と$β$について総和されるもの。

我々は、(48) から、電磁場のエネルギーテンソルが対称であることに注目する；これと次の事実は、結合している。 体積あたりの運動量とエネルギーの流れは、互いに等しい (エネルギーと慣性の関係である)。

保存原理への一般的表式 我々には避け難く、全ての他の場合もエネルギーの空間分布は、対称テンソル $Ｔ_{μν}$ で与えられ、この完全な エネルギーテンソルがどこでも (47c) の関係をみたすという仮定を作ることになる。少なくとも我々は、この仮定によって積分型エネルギー原理の 正確な表式を得るのをみるであろう。

空間的に制限のある閉じた系を考えよう、4 次元的にその外部で$Ｔ_{μν}$が消滅する帯で表すことができる。(47c) の空間的断面に渡る積分をとる。 $Ｔ_{μν}$ が積分の境で消滅するから、${∂Ｔ_{μ1} \over ∂x_1}, {∂Ｔ_{μ2} \over ∂x_2}$ そして ${∂Ｔ_{μ3} \over ∂x_3}$ の積分が消滅して、我々は、次を得る。 \[ {∂ \over ∂l} \{∫Ｔ_{μ4} dx_1 dx_2 dx_3\} = 0 \tag{49} \] 括弧の内部は、全体系の運動量の表式であり、i 倍されて、系の負のエネルギーと一緒にして、(49)が積分形式で保存原理を表すようになる。 これが正しいエネルギーの概念と保存の原理を与えることは、次の考察からみることができる。

(*) この知識の欠如を救済する試みが荷電粒子を固有の特異点として考慮することによってなされた。しかし、私の意見では、これは物質構造の 本当の理解の放棄を意味する。外見だけの解に満足するよりも、我々の現在の不可能性を受け入れるほうが、私にはずっとよいと思える。

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物質のエネルギーテンソルの現象論的再現

水力学的方程式 我々は物質が電気的な荷電粒子によって出来ていることを知っている。しかし、これらの粒子の構成を支配する 法則を知らない。力学的問題を扱うのに、我々は、それゆえ、古典的力学のそれに対応する、物質の不正確な記述を使用せざるを得ない。 物質の実質の密度$σ$と水力学的圧力とは、その上にそのような記述が基づく基本的概念である。

$σ_0$ は、物質に対して動いている座標系を参照して推定する、ある場所の物質密度としよう。そのとき、静止の密度$σ_0$ は不変量である。 もし、我々が任意の運動をする物質を考え、圧力を無視するなら(真空中の塵、粒子のサイズと温度を無視して)、そのとき、エネルギーテンソルは 速度成分 $u_ν$、と $σ_0$ にだけ依存するであろう。我々は、次のように置き、$Ｔ_{μν}$ のテンソル特性を保存する。 \[ Ｔ_{μν}= σ_0 u_μ u_ν \tag{50} \] ここで、$u_μ$ は、その3次元表現を(41)で与えた。事実、(50)から、$q= 0$ については、$Ｔ_{44}= -σ_0$ (単位体積あたりの負のエネルギーに等しい) であることが出てくる。それは、物質とエネルギーの等価原理に従い、上に与えたエネルギーテンソルの物理解釈に従わねばならない。 もし、外部の力(4次元ベクトル $K_μ$)がその物質に作用するなら、運動量とエネルギーの原理から、次式が成立しなければならない。 \[ K_μ= {∂Ｔ_{μν} \over ∂x_ν} \] 我々は、この式が、すでに得られたと同じ物質粒子の運動法則を導くことを示す。空間に無限小の拡がりをもつ物質を想像しよう、すなわち、4次元 のひもである； そのとき、ひも全体を、空間座標 $x_1, x_2, x_3$ に関して積分することによって、我々は次を得る。 \[ ∫ K_1 dx_1 dx_2 dx_3 = ∫{∂Ｔ_{14} \over ∂x_4} dx_1 dx_2 dx_3 = -i {d \over dl} \{∫σ_0 {dx_1 \over dτ} {dx_4 \over dτ} dx_1 dx_2 dx_3\} \]

もし、我々がこの式に $u_μ (= {dx_μ \over dτ})$ を掛け、$μ$ の総和をとれば、(40)を使って我々は次を得る。 \[ -{∂(σ u_ν) \over ∂x_ν} + {∂p\over ∂τ} = 0 \tag{52} \]

ここで、我々は、${∂p \over ∂x_μ} {dx_ν \over dτ} = {∂p \over ∂τ}$ とした。これは、連続の方程式であり、古典力学の式から${dp \over dτ}$ だけ異なる。 それは、実際的には、消滅するように小さい。(52) を観察して、保存原理は次の式をとる。 \[ σ {du_μ \over dτ} + u_μ{dp \over dτ} + {∂p \over ∂x_μ} = 0 \tag{53} \]

その式の最初の３添字については、明らかにオイラー方程式に対応している。(52), (53) の式は、古典力学の水力学の方程式に1次近似で 対応することは、一般化されたエネルギー原理のさらなる確認である。物質(またはエネルギー)の密度は、テンソル特性をもつ(とくに対称 テンソルを構成する)。