rotating frame

遠心力とコリオリの力


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回転系(角速度 w) には軸からの距離 r と w^2 に比例する遠心力、物体の系内速度 V と w に比例するコリオリの力がある。 それら両者の関係、全く性質が異なるように見える両者が、実は、同じものであるという理解ができるという議論である。

慣性系では物体が円運動するには、中心からその物体を引く力、向心力が必要である。これは、ニュートン力学の惑星運動では 重力の "現実" の力、万有引力であった。振り回すひもが物体を引く(作用)とき、物体からひもを引く慣性力(反作用)を伴う。 慣性力は、質量が加速度をもつための力である。この現象を回転系からみると、向心力はそのままあり、物体は回転系に静止して いるので、向心力とつり合う遠心力が必要になる。遠心力は、系の回転から生じる "みかけ" の力である。回転系では自由物体は、 初め静止していても遠心力の加速をを受けて、中心から離れる遠心方向の運動を始めるが、慣性系からみると等速直線運動のままである。 コリオリの力は、日常生活ではあまり意識されないが、回転系で物体が速度をもつとき、磁場の中の電荷がうける力のように、 速度と回転軸との両者に垂直な方向に力を受ける力である。これも回転系での "みかけ" の力である。

遠心力は、局所的には中心方向の加速をもつ加速系と類似する。それは、局所的には遠心方向の加速度を与える場である。 遠心力の原因は、回転系内の静止点を慣性系から見た中心に向う加速度である。その符号反転した加速度が回転系では、場から生じるとみえる。 回転系と加速系との違いは、回転系の各点が局所的にも回転していることである。局所的な回転がコリオリ力を生んでいる。 遠心力の大きさは場所に依存し、中心軸からの距離に比例するが、コリオリ力は、場所によらない。さらに、遠心力の大きさは、 回転系の角速度の2乗に比例するが、コリオリ力は、角速度の1乗に比例する。両者は、このように違った性質をもっている。

回転には軸があり、軸の方向と回転の大きさを示す角速度ベクトルで表される。回転系は、回転軸が通る点と、回転のベクトル w によって表現される。z を軸に回転する系の場の性質は、z 方向に一様であり、z 軸からの距離だけによる軸対称性をもつ。 軸上に原点 O をとり、そこからの位置ベクトルを r とすると、慣性系からみた回転系内点の速度は、v= w x r になる。 そのとき遠心力場は、F/m= v x w であり、その系内静止点の慣性系での加速度 w x v の符号反転である。



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コリオリの力の原因は何だろうか。慣性系に静止した点は、回転系からみると円運動をする。その円運動の向心力を与える必要がある。 例えば、回転する円筒型の室内で速度 v をもつ円筒の側面を床として乗員が走行運動するとき、回転系と逆方向に系内速度 V= -v で走行する乗員は、浮遊するだろうし、床と同じ方向に系内速度 V= v をもって走る乗員は、慣性系内で 2w の回転するための向心力の 追加が必要で床から2倍の抗力を得るだろう。遠心力は運動の速度によらず V= -v も V= v も同じ方向の同じ大きさの外側に向かう力 を与えるのに、片方は浮遊し、他方は床に押しつけられる。この方向による違いを与えるのがコリオリ力 V x w である。床との速度 V= v を前方とし、回転 w の軸は、v に向かって、右方向とすると、a x b は、a から b に右ネジを巻いて進む方向であり、V x w は、 下に(外に) 床に向かう。v と逆方向に V= -v で運動するときコリオリ力は中心に向かい、それが(なぜか)遠心力とつり合って浮遊するのである。 しかし、まだコリオリ力を生み出す仕組みをこれが明らかにしているわけではない。

半径 10m 程度 (9.8m)の円筒の側面を床にすると、遠心力が地上の重力加速度 1g = 9.8 m/sec^2 を与える回転は、rw^2= g から w= 1。w=2πf から 6.28 秒で 1 回転である。v^2/r= g からは v= 9.8 m/sec。遠心力は v x w 。浮遊時のコリオリの力は V x w = -v x w = w x v で中心に向かう。

遠心力場は、重力と同様にその勾配が力場を与えるポテンシャルによって表すことができる。回転軸を軸とする逆放物面をもつ ポテンシャル場である。F/m = -gradφ、φ(r)= -1/2 r^2w^2 = -1/2 v^2 これは、(なぜか)回転系内の静止点を慣性系からみた 運動エネルギーの符号反転になっている。

(1)PE + KE は一定でない
ニュートン力学の地上での物体の運動エネルギーと位置エネルギーの和が一定と整合して、回転系での運動エネルギーと 位置エネルギーの和も一定が成立するだろうか。答え:成立しない。
系の点速度 v とし、系内運動速度を V とすると、慣性系からみた運動エネルギーは、KE= 1/2 (V+v)^2 である。 系内の KE= 1/2 V^2 、φ= -1/2 v^2 であるから、系内の KE + φ = 1/2 (V^2 - v^2) となり、 これは、V と v との大きさに依存する。

ニュートン重力中のポテンシャルと区別して、回転系のポテンシャルは、"実効ポテンシャル" と呼ばれる。



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(2) 回転系 w の運動は磁場中の電荷の運動と一致する
電荷が受けるローレンツ力 F = q(E + v x B)、 E は、加速度を与える電場、B は速度に比例して速度と磁場に垂直な力を 与える磁場である。それと遠心力の加速度場とコリオリの場は対応している。そして遠心力はポテンシャル記述できるが、 コリオリの力は、ポテンシャルだけでは記述できない。それは、静電ポテンシャルが静止した電荷の受ける力だけを記述し、 速度をもつ電荷が磁場から受ける力を記述しないのと同様である。速度を持った質点は、コリオリの力を考慮する必要がある。

回転系では、速度 V をもった外力なしの質点は、速度 V に比例しそれと垂直な力 F/m= V x w を受け、速度に比例した半径の 円軌道を描く。円軌道の向心加速度は、速度に比例するが、時間積分した軌道の周期は当然、速度に依存せず一定であり、 回転系の周期と一致する。(v が 2 倍で、r は 2 倍、mv^2/r = mrw^2 は 2 倍。w は一定。)

コリオリの力の元になるベクトルポテンシャルを考えることができる。rot B= A である A は、一意に決定されないが、 中心からの距離 r と w に比例する A = v = -r x w という軸対称解 A= (-y, x, 0) がある。電磁気の A は、ソレノイドの 周囲の電流に相当するような rot B = dE/dt + i があるという原因によって起こっている。


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(3) 慣性系からみて V+v の速度で等速直線運動する点を回転系からみると、回転系内の静止点の速度 v と加速度 a と回転系内速度 V がある。位置 r の時間微分である速度は、v= w x r である。さらにその時間微分である加速度は、a= w x v である。回転系での 時間微分は、w の前からの外積のようだ。回転系では加速度 a= w x v を打ち消す遠心力 v x w とコリオリ力 V x w が生じるとみる のであるが、その和の式を作ってみると、

F(r)/m = v x w + V x w = (V + v) x w

である。(V+v) x w は、慣性系からみた速度 V+v と w との外積であり、遠心力とコリオリ力は、ここでは全く区別されていない。 この区別のない仕組みは本質的であり、見掛けの力は、速度 (V+v) 全体に掛かり、慣性系の速度からその系内点の v を引いた 系内速度 V に関するものをコリオリ力といい、v に関するものを遠心力というのである。回転系は、ある速度をもっていて、 その回転系からみる物体速度と回転の外積が遠心力とコリオリの力の和として見えることをこの式は意味している。 回転系には軸があるということは、外部世界との速度を反映してよいのであるが、その座標の軸方向の成分は、w との外積で効果が消える。 遠心力とコリオリの力は、もともとの発生的原因は、回転系からみた物体の速度 V+v と w の外積であり、 両者は、区別してできたものではない。人間が分類しただけである。

遠心力が v x w 、コリオリの力が V x w で、みかけの力全体が (V + v) x w なら V= -v で遠心力を丁度打ち消して浮遊し、 V= v では遠心力の丁度 2 倍の人工重力を感ずるのは至極、当然のことである。



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これは、電磁場との対比で示唆的である。電磁場が電荷に与えるローレンツ力のうち、電荷が速度に関係しない部分を電場、速度に 関係し比例する部分を磁場という。電磁場は、慣性系を換えるとローレンツ変換され、ある系が磁場と見る場を別の系は電場と見る。 同様なことが回転系についていえる。回転系の遠心力とコリオリ力は、相互に変換可能である。(V+v) が一定のとき、同じみかけの 力の分解であり、v を決めれば、残りの V は自動的に決まる。回転系は、軸の座標と速度をもつ。その速度は、物体との相対速度 (V+v) を変え、みかけの力全体 (V+v) x w を決めるだけである。

軸から r の点での遠心力 v x w (v= w x r) は、そこを軸にする同じ w をもつ回転系からみると、r= 0 から、もはや遠心力はなく、 v が系内速度 V に加算され、みかけの力 (V + v) x w 、全てがコリオリの力となる。また、その系内速度 V を系の速度 v に置き 換える軸の位置をもつ回転系からみると、みかけの力全体が遠心力として現れる。性質が全く異なる回転系のふたつのみかけの力は、 回転系の選択による違いでしかないのである。

コリオリの力があまりなじみがないのは、普通、それが遠心力より小さいためだろうが、回転系のその点の接線速度程度の速度で 遠心力と同程度の力を受けるのである。それは、地球の自転速度程度の速度で地球の自転の遠心力程度のコリオリの力が働くこと とも呼応している。日が東から昇る地球の回転 w は北極星を指すベクトルである。北半球で w が真上を向いているとし速度 V を前方とすると V x w は右に働く。北半球の弾丸は右にそれる。これは台風の渦の風が左にそれるのとは逆である。流体力学は、 さらに難しいことがあるのである。