integral

積分

2019/1/27 片山泰男 (Yasuo Katayama)

微分: 関数f(x)の変化率、$f'(x)= df(x)/dx = lim_{h→0} (f(x+h)-f(x))/h$
積分: 微分の逆関数 $g'(x)= f(x)$ のとき、積分記号∫とdxで挟んで積分を示す。$g(x)= ∫ f(x) dx$

不定積分には不定項があるので、積分定数 C を付ける。$∫f(x) dx+ C$
定積分は、変数の範囲を指定して、結果は変数xによらない値をえる。$\int_a^b f(x) dx = {[\int f(x)dx]}_a^b$

微分は関数から関数への線形演算であり、定数倍の微分は定数倍。$(c f(x))'= c f'(x)$。和の微分は微分の和。$(f(x)+g(x))'= f'(x) + g'(x)$

積関数の微分は、片方の微分と他方の和。 $(f(x)g(x))'= f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $

これを積分した部分積分がある。 $f(x)g(x)= \int f'(x)g(x)dx + \int f(x)g'(x) dx$

$(1/g(x))' = g'(x))/(g(x))^2 $
商関数の積分は、 $(f(x)/g(x))'= (f'(x)g(x)- f(x)g'(x))/(g(x))^2$
なぜなら $(f(x)/g(x))'= (f(x) \times 1/g(x))'= f'(x)/g(x) - f(x) g'(x)/(g(x)^2$

3積関数はひとつを微分に他はそのままの和 $(f(x)g(x)h(x))'= f'(x)g(x)h(x) + f(x)g'(x)h(x) + f(x)g(x)h'(x)$

合成関数の微分は、各関数の微分の積。$(f(g(x)))'= f'(g(x)) g'(x)$

多項式の微積分 $y= x^n$ なら $y'= nx^{n-1}$。 $y'= x^n$なら $y= 1/(n+1) x^{n+1}$。 $n= -1$の$y'= x^n$である $1/x$ の積分は $log(x) + C$。

以下、予備校のノリで学ぶ「大学の数学・物理」の"今週の積分"からメモ。

(#4) 対数微分法: $\int_1^2 1/2^x dx$
$y=2^{-x}$の微分は、両辺対数をとり$log y= -x log 2$
両辺をxで微分して$y'/y= -log 2$
ゆえに$y'= -2^{-x} log 2$
$(2^{-x})'= -2^{-x} log 2$
$(-2{-x}/log2)'= 2^{-x}$
$\int 1/2^x dx={[(-2^{-x}/log2)]}_1^2 $
$= -1/log2 (2^{-2} - 2^{-1})= 1/4 log2$

(#5) $\int 1/sin(x) dx$ sinはcos関数の2乗を作る。
$= \int sin(x)/(1-cos^2(x)) dx $
$= \int -t'/(1-t^2) dx, (t= cos(x)) $
$= -\int 1/(1-t^2) dt$
部分分数展開してlogに $= 1/2 \int (1/(1-t) - 1/(1+t)) dt $
$= 1/2 log|(1-t)/(1+t)| + c$
$= 1/2 log((1-cosx)/(1+cosx)) + c$

(#6) $\int 1/\sqrt{1+x^2} dx$
$\sqrt{1+x^2}$を含む積分は$x= (e^t - e^{-t})/2$ と置換
$e^t - e^{-t} = 2x$
$e^{2t} -2xe^t -1 = 0$
$e^t$の2次方程式の解 $e^t= x + \sqrt{x^2 + 1}$
から $t= log(x+ \sqrt{x^2 + 1})$
また、$dx= (e^t + e^{-t})/2 dt$

元式$== \int 1/\sqrt{1+{(e^t-e^{-t})}^2/4} (e^t+e^{-t})/2 dt$
$= \int 1/((e^t+e^{-t})/2) (e^t+e^{-t})/2 dt$
$=\int dt= t + c = log(x+\int{x^2+1}) +c$

$y=\sqrt{1-x^2}は、x= sin t, y= cos t$ とすると円 $x^2+y^2=1$の媒介変数表示。
$y=\sqrt{1+x^2}は、x= (e^t - e^{-t})/2 = sinh t, y= (e^t + e^{-t})/2 = cosh t$ とすると双曲線$x^2 - y^2= -1$の媒介変数表示。

(#7) $\int x\sqrt{3x-5}dx$ (和を含む根号を含む積分は、基本的に外す)
$t= \sqrt{3x-5}$
$t^2= 3x-5$
$x= (t^2+5)/3$
$dx= 2t/3 dt$

$\int x\sqrt{3x-5}dx = \int (t^2+5)/3 t 2t/3 dt$
$= 2/9 \int t^4 + 5t^2 dt$
$= 2/9 (t^5/5 + 5/3 t^3) +c$
$= 2/45 t^3(t^2+ 25/3) +c$
$= 2/45 (3x-5)^{3/2} (3x-10/3) +c$

(#8) $\int_1^e \sqrt{x} log(x) dx$ 部分積分(積分 e^x,sinx,x^a,logx 微分)
$\int_1^e x^{1/2} log(x) dx$
$= {[2/3 x^{3/2} log(x)]}_1^e -\int_1^e 2/3 x^{3/2} x^{-1} dx$
$= 2/3 e^{3/2} -2/3 {[2/3 x^{3/2}]}_1^e$
$= 2/3 e^{3/2} - 4/9 (e^{3/2} - 1)$
$= 2/9 e^{3/2} + 4/9$

(#9) $\int {log(x)}^2 dx$: logを含む積分は部分積分。例$\int log(x) dx = x log(x) - ∫ x/x dx + c = x log(x) - x + c $

$\int {log(x)}^2 dx= \int 1 {log(x)}^2 dx = x {log(x)}^2 - \int x 2 log(x) 1/x dx $
$= x {log(x)}^2 - 2(x log(x) - x) + c $

または置換積分 $t= log(x)$ とすると、$dt= 1/x dx, dx= e^t dt$ $\int {log(x)}^2 dx=\int t^2 dx = \int t^2 e^t dt $
$= t^2 e^t - 2 \int t e^t dt$
$= t^2 e^t - 2(e^t (t-1)) $ここで、$\int t e^t dt = te^t - ∫e^t dt = e^t (t-1) $を使用。
$= x {log(x)}^2 - 2x(log(x) - 1) + c$

(#1) $\int tan^3(x) dx$ 3角関数は2乗に
$\int tan^3(x) dx= \int tanx (1/cos^2x -1) dx$
$= \int tanx/cos^2x dx + \int -sinx/cosx dx$
$= \int tanx (tanx') dx + \int -sinx/cosx dx$
$= 1/2 tan^2x + log|cosx| + c$

$I_n = \int tan^n x dx$
$=\int tan^{n-2}x tan^2x dx$
$= 1/(n-1) tan^{n-1}x - I_{n-2}$

(#2)$\int_0^{2\pi} \sqrt{1+cosx} dx$ 根号を外す
cos半角の公式 $cos^2θ= (1+cos2θ)/2$
$\sqrt{1+cosx} = √2 cos(x/2)= √2|cos x/2|$
... $= 4√2$

(#3)$\int_0^1 \sqrt{(1-x)/(1+x)} dx$ 根号を外す
$t= n\sqrt{(ax+b)/(cx+d)}$型は、 tだけの式になる
$t^2= (1-x)/(1+x) $
$(1+t^2)x= 1-t^2 $
$x= (1-t^2)/(1+t^2) $
$x:0～1$
$t:1～0$
$dx= -4t/(1+t^2)^2 dt $

$\int_0^1 \sqrt{(1-x)/(1+x)} dx = \int_0^1 t (-4t/(1+t^2)^2)dt $
$= 4\int_0^1 t^2/(1+t^2)^2 dt$
$t= tan s$
$t:0～1$
$s:0～\pi/4$
$dt= (1/cos^2s) ds $
元式$= 4 \int_0^{\pi/4} tan^2s cos^4s (1/cos^2s) ds $
$= 4 \int_0^{\pi/4} sin^2s ds$
$= 2 \int_0^{\pi/4} 1-cos(2s) ds$
$= \pi/2 -1 $